ஈருறுப்புக் கோவை (Binomial expression) Type 02

\(a^2-b^2 =(a+b)(a-b)\) இன் பிரயோகம்

வினா 01

\( 1990 \times 2010 \) இன் பெறுமதி யாது?

தீர்வு:

( 1990 = 2000 - 10 ) மற்றும் ( 2010 = 2000 + 10 ). ஆகவே,

\( 1990 \times 2010 = (2000 - 10)(2000 + 10) \)

\( = 2000^2 - 10^2 \)

\( = 4000000 - 100 \)

\( = 3999900 \)

 

வினா 02

 \( \frac{22}{7} \times 15^2 - \frac{22}{7}\) இன் பெறுமதி என்ன?

தீர்வு:

\( \frac{22}{7} \times 15^2 - \frac{22}{7} \)

==> \( \frac{22}{7} (15^2 - 1^2) \)

==> \( \frac{22}{7} (15+1)(15-1) \)

==> \( \frac{22}{7} \times 16 \times 14 \)

==> \( 22 \times 32 \) (மனதால் பெருக்குவோம் 20x32+2x32==>640+64)

==> \( 704 \)

வினா 03

\( 234567^2 - 234557 \times 234577 \) இன் பெறுமதி யாது?

தீர்வு:

( 234557 = 234567 - 10 ) மற்றும் ( 234577 = 234567 + 10 ) ஆகும்.

ஆகவே, \( 234557 \times 234577 = (234567 - 10)(234567 + 10)\)

\( = 234567^2 - 10^2 \)

இப்போது,

\( 234567^2 - 234557 \times 234577 \)

\( = 234567^2 - (234567^2 - 100) \)

\( = 100 \)

வினா 04

\( (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})(1 - \frac{1}{5^2}) \) இன் பெறுமதி யாது?

தீர்வு:

\( 1 - \frac{1}{n^2} = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} = \frac{n-1}{n} \times \frac{n+1}{n} \)

ஆகவே,

\( 1 - \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \)

\( 1 - \frac{1}{3^2} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \)

\( 1 - \frac{1}{4^2} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} \)

\( 1 - \frac{1}{5^2} = \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} \)

---

இப்போது,

\( (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})(1 - \frac{1}{5^2}) \)

\( = \left(\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}\right)\left(\frac{2}{3} \times \frac{4}{3}\right)\left(\frac{3}{4} \times \frac{5}{4}\right)\left(\frac{4}{5} \times \frac{6}{5}\right) \)

---

இப்போது telescoping முறையில் (குறைத்தல்),

\( = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} \)

---

பொதுவான காரகங்கள் அனைத்தும் குறைகின்றன:

\( = \frac{1 \times 6}{2 \times 5 தொகையில்} \)

\( = \frac{6}{10} \)

\( = \frac{3}{5} \)

வினா 05:

வினா 04 இன் அறிவை பயன்படுத்தி பின்வரும் கோவையை சுருக்குக.

\( (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})'................................(1 - \frac{1}{4049^2}) \) 

தீர்வு:

\( = \frac{1 \times 6}{2 \times 5} \) னை உற்று நோக்குங்கள்

முதலாவது காரணியில் கழிபடும் தொகை மாற்றமின்றியும் இறுதிக் காரணியில் கழிபடும் தொகையின் விகுதியானது பகுதி எண்ணுடன் ஒன்று கூட்டிய பெறுமதியை கொண்டுள்ளது.

எனவே \( = \frac{1 \times 6}{2 \times 5} \) ===> \( = \frac{1 \times (4049+1)}{2 \times 4049} \) 

\( = \frac{1 \times (4050)}{2 \times 4049} \) 

\( = \frac{2025}{4049} \)

வினா 06:

\(10^x=(10^{624}+25)^2-(10^{624}-25)^2\) இல் x இன் பெறுமதி யாது?

தீர்வு:

\( (10^{624} + 25)^2 - (10^{624} - 25)^2 = ((10^{624} + 25) - (10^{624} - 25))((10^{624} + 25) + (10^{624} - 25))  \)

\(= ((10^{624} + 25 - 10^{624} + 25)(10^{624} + 25 + 10^{624} - 25)  \)

\(= (25 + 25)(10^{624} + 10^{624})  \)

\(= 50 \times 2 \times 10^{624} \)

\( = 100 \times 10^{624} \)

\( = 10^2 \times 10^{624} \)

\( = 10^{626} \)

ஆகவே,

\( 10^x = 10^{626} \)

\( \Rightarrow x = 626 \)

வினா 07:

\(6^x-5^x = 11\) எனின் x இன் பெறுமதி யாது

தீர்வு:

\(6^x-5^x = 11\)

\(6^x-5^x = (6+5)\)

\(6^x-5^x = (6+5)(6-5)\) ஏனெனில் 6-5 என்பதன் பெறுமதி 1 ஆகும். 1 னால் எந்த எண்ணை பெருக்கினாலும் அதன் பெறுமதி மாறது.

\(6^x-5^x = 6^2-5^2\) 

எனவே \(x=2\)

வினா 08:

\((\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})(-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})\) இன் பெறுமதி யாது?

தீர்வு:

\( a=\sqrt{5},; b=\sqrt{6},; c=\sqrt{7} \) என எடுத்துக்கொள்க.

---

முதல் இரண்டு உறுப்புகள்:

\( (\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7}) \)

\( = (a+b)^2 - c^2 \)

\( = a^2 + b^2 + 2ab - c^2 \)

---

அடுத்த இரண்டு உறுப்புகள்:

\( (\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})(-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}) \)

\( = (c+b-a)(c+b+a) \) என விரிவாக்கம் செய்து எளிமைப்படுத்தினால்

\( = -a^2 - b^2 + 2ab + c^2 \)

---

இப்போது பெருக்கினால்,

\( = (a^2 + b^2 + 2ab - c^2)(-a^2 - b^2 + 2ab + c^2) \)

---

\( X = a^2 + b^2,; Y = 2ab,; Z = c^2 \) என எடுத்தால்,

\( = (X + Y - Z)(-X + Y + Z) \)

\( = Y^2 - (X - Z)^2 \)

---

இப்போது மதிப்புகள்:

\( a^2=5,; b^2=6,; c^2=7 \)

\( Y^2 = (2ab)^2 = 4 \times 5 \times 6 = 120 \)

\( X - Z = 5 + 6 - 7 = 4 \)

\( (X-Z)^2 = 16 \)

---

அதனால்,

\( = 120 - 16 \)

\( = 104 \)